設(shè)函數(shù)φ（y）具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在圍繞原點(diǎn)的任意分段光滑簡單閉曲線L上，曲線積分 的值恒為同一常數(shù)。

證明：對(duì)右半平面x＞0內(nèi)的任意分段光滑簡單閉曲線C，有

驗(yàn)證函數(shù)x=C₁coskt+C₂sinkt（k≠0）是微分方程的通解。

若f（x）在[a，b]上連續(xù)，ax₁<x₂<...<x_n<b，則在[x₁，x_n]上至少有一點(diǎn)ξ，使f（ξ）=。

在過點(diǎn)O（0，0）和A（π，0）的曲線族y=asinx（a〉0）中，求一條曲線L，使沿該曲線L從O到A的積分

設(shè)在上半平面D={（x，y）〡y〉0}內(nèi)，函數(shù)f（x，y）具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的t〉0都有f（tx，ty）=t^-2f（x，y），證明：對(duì)D內(nèi)的分段光滑的有向簡單閉曲線L，都有

設(shè)曲線Q（x，y）在xOy平面上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，曲線積分