設(shè)總體X服從泊松分布P（λ），其中λ未知參數(shù)，λ＞：X₁，X₂，…，X_n為來自總體X的樣本，損失函數(shù)為，假定λ的先驗分布密度為

試求λ的貝葉斯估計。

當先驗分布為離散型時，后驗分布的概率密度函數(shù)為：

試證明當總體分布密度函數(shù)為p（x；θ），θ∈Θ，且θ得先驗分布的密度函數(shù)為π（θ）時，θ的后驗分布可以按下列公式計算。

當先驗分布為連續(xù)型時，后驗分布的概率密度函數(shù)為：

設(shè)（X₁，X₂，…，X_n）是來自正態(tài)總體N（μ，σ²）的樣本，其中μ，σ²未知，-∞＜μ＜+∞，σ²＞0，現(xiàn)給出σ²的三種估計量：

試求在平方損失函數(shù)L（σ²，d）=（σ²-d）²下的風(fēng)險函數(shù)，并比較風(fēng)險函數(shù)值的大小。

設(shè)（X₁，X₂，…，X_n）是來自正態(tài)總體N（0，σ²）的樣本，其中σ²未知，現(xiàn)給出σ²的五種估計量：

試在平方損失函數(shù)L（σ²，d）=（σ²-d）²下，求出它們的風(fēng)險函數(shù)，并比較風(fēng)險函數(shù)值的大小。

在一個參數(shù)統(tǒng)計模型中，如果要求未知參數(shù)θ的單側(cè)區(qū)間估計，試寫出決策空間，并給出適當?shù)膿p失函數(shù)。

為了了解某種藥品對某種疾病的治療是否與患者的年齡有關(guān)，共抽查了300名患者，將療效分成“顯著”，“一般”，“較差”三個等級，將年齡分成“兒童”，“中青年”，“老年”三個等級，得到數(shù)據(jù)如表所示，在顯著水平α=0.05下檢驗假設(shè)“療效與年齡相互獨立”。

對某項提案進行了社會調(diào)查，結(jié)果如表所示。在顯著水平α=0.05下，問公民對這項提案的態(tài)度與性別是否相互獨立？