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問答題甲乙兩人比賽射擊，每次射擊勝者得1分，每次射擊甲勝的概率為𝛼，乙勝的概率為𝛽（𝛼+𝛽=1），比賽進行到有一人比對方多2分為止，多2分者最終獲勝，求甲最終獲勝的概率.

1.問答題𝑟個人相互傳球，從甲開始.每次傳球時，傳球者等可能地把球傳給其余𝑟∇1個人中的任何一個.求第𝑛次傳球時仍由甲傳出的概率.

2.問答題甲口袋有1個黑球，2個白球，乙口袋有3個白球.每次從兩個口袋中各任取一球，交換后，放入另一個口袋，求交換𝑛次粶，黑球仍在甲口袋中的概率.

3.問答題設(shè)𝐴和𝐵為兩個隨機事件，試證明下述命題：若對任意正概率隨機事件𝐶有𝑃（𝐴𝐵|𝐶）=𝑃（𝐴|𝐶）·（𝐵|𝐶），則𝐴與𝐵相互獨立.該命題的逆命題是否成立？

4.問答題設(shè)0<𝑃（𝐴）<1，0<𝑃（𝐵）<1，試證：𝐴與𝐵相互獨立的充要條件是𝑃（𝐴|𝐵）+𝑃（𝐴¯|𝐵¯）=1.

5.問答題 有𝑛個人各填寫一份登記表并交一張照片.現(xiàn)在把登記表和照片任意地裝入𝑛個有姓名的檔案袋中（每袋中只允許裝一份登記表及一張照片）。

恰有𝑟袋（1≤𝑟≤𝑛）的登記表和照片都裝對的概率𝑃_r（𝑛），并證明：

6.問答題有𝑛個人各填寫一份登記表并交一張照片.現(xiàn)在把登記表和照片任意地裝入𝑛個有姓名的檔案袋中（每袋中只允許裝一份登記表及一張照片）。求：沒有一袋的登記表及照片都裝對的概率𝑃₀（𝑛）.

7.問答題一個袋子中有紅、黃、黑、白球個三個，從中任取5個，求至少有一種顏色的球未取到的概率.

8.問答題在平面上畫有間隔為𝑑的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為𝑎，𝑏，𝑐（均小于𝑑），求三角形與平行線相交的概率.

9.問答題 把𝑛個完全相同的球隨機地放入𝑁個盒子中（即球放入盒子粵，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）.

證明：指定的𝑚個盒中正好有𝑗個球的概率為：

10.問答題 把𝑛個完全相同的球隨機地放入𝑁個盒子中（即球放入盒子粵，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）.

證明：恰好有𝑚個空盒的概率為：

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