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大學(xué)試題

問答題證明方程x⁵-3x=1至少有一個(gè)根介于1和2之間。

1.問答題假設(shè)函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[0，1]上連續(xù)，并且對(duì)[0，1]上任一點(diǎn)x有0≤f（x）≤1.試證明[0，1]中必存在一點(diǎn)c，使得f（c）=c（c稱為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)）。

2.問答題 設(shè)函數(shù)
應(yīng)當(dāng)怎樣選擇數(shù)a，才能使得f（x）成為在（-∞，+∞）內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

3.問答題設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中，哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？如果是對(duì)的，試說明理由；如果是錯(cuò)的，試給出一個(gè)反例。φ（x）/f（x）必有間斷點(diǎn)。

4.問答題設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中，哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？如果是對(duì)的，試說明理由；如果是錯(cuò)的，試給出一個(gè)反例。f[φ（x）]未必有間斷點(diǎn)。

5.問答題設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中，哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？如果是對(duì)的，試說明理由；如果是錯(cuò)的，試給出一個(gè)反例。[φ（x）]²必有間斷點(diǎn)。

6.問答題設(shè)f（x）在R上連續(xù)，且f（x）≠0，φ（x）在R上有定義，且有間斷點(diǎn)，則下列陳述中，哪些是對(duì)的，哪些是錯(cuò)的？如果是對(duì)的，試說明理由；如果是錯(cuò)的，試給出一個(gè)反例。φ[f（x）]必有間斷點(diǎn)。

7.問答題設(shè)函數(shù)f（x）與g（x）在點(diǎn)x₀連續(xù)，證明函數(shù)φ（x）=max{f（x），g（x）}，ψ（x）=min{f（x），g（x）}在點(diǎn)x₀也連續(xù)。

8.問答題 試舉出具有以下性質(zhì)的函數(shù)f（x）的例子：
x=0，±1，±2，±1/2，…，±n，±1/n，…是f（x）的所有間斷點(diǎn)，且它們都是無窮間斷點(diǎn)。

9.問答題 設(shè)
證明：f（x）在x=0連續(xù)；
f（x）在非零的x處都不連續(xù)。

10.問答題證明：若函數(shù)f（x）在點(diǎn)x₀連續(xù)且f（x₀）≠0，則存在x₀的某一鄰域U（x₀），當(dāng)x∈U（x₀）時(shí)，f（x）≠0。

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