設(shè)球體占有閉區(qū)域它在內(nèi)部各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的質(zhì)心。

圖所示的是某一建筑物的屋頂，它由曲面Σ₁與Σ₂拼接而成，Σ₁是半徑為1的半球面，Σ₂是半徑為2的半球面的一部分，試問該屋頂?shù)拿娣e是多少？

從一塊半為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏（如圖）問留下的扇形的中心角φ取多大時，做成的漏斗的容積最大？

設(shè)一個直橢圓的錐面方程為（z-1）²= （0≤z≤1，a〉0，b〉0），若將該直橢圓錐體切削成長方體（長方體的長、寬、高平行于坐標(biāo)軸，如圖所示），試用拉格朗日乘數(shù)法求所能獲得的長方體的最大體積。

利用三重積分計(jì)算下列由曲面所圍立體的質(zhì)心（設(shè)密度ρ=1）：

設(shè)z=，求證x²+y²=2z。

設(shè)T=2π，求證l+g=0。

某地區(qū)防空洞的截面擬建成矩形加半圓（如圖）。截而的面積為5m²．問底寬x為多少時才能使截面的周長最小，從而使建造時所用的材料最??？