設(shè)𝜙（𝑡）是特征函數(shù)，且|𝑡|≥𝑎（𝑎>0）時(shí)，𝜙（𝑡）=0.令證明：𝜙（𝑡）是特征函數(shù).

在橋牌比賽中，將52張牌任意地分給東、南、西、北四家，求在北家的13張牌中： 
（1）恰有5張黑桃、5張紅心、2張方塊、1張梅花的概率 
（2）在已知有一張K的情況下，這張K是黑桃的概率

隨機(jī)變量（X，Y）服從在區(qū)域{0<x<2，0<y<1}上均勻分布。
（1）求（X，Y）的概率密度函數(shù)及分布函數(shù)
（2）設(shè)ξ=X+Y，η=aX+bY，且ξ，η不相關(guān)，Dη=1，求a，b

設(shè)二維隨機(jī)變量（𝜉，𝜂）具有聯(lián)合密度函數(shù)如下，證明：𝜉+𝜂的特征函數(shù)等于𝜉，𝜂的特征函數(shù)之乘積，但是𝜉，𝜂并不相互獨(dú)立.

設(shè)𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛為獨(dú)立同𝐺𝑎（𝛼，𝜆）的隨機(jī)變量，

某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1000件，其價(jià)格為P=2000元/件，其使用壽命X（單位：天）的分布密度為

現(xiàn)由某保險(xiǎn)公司為其質(zhì)量進(jìn)行保險(xiǎn)：廠方向保險(xiǎn)公司交保費(fèi)P₀元/件，若每件產(chǎn)品若壽命小于1095天（3年），則由保險(xiǎn)公司按原價(jià)賠償2000元/件. 試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算 
（1） 若保費(fèi)P₀=100元/件，保險(xiǎn)公司虧本的概率？ 
（2） 試確定保費(fèi)P₀，使保險(xiǎn)公司虧本的概率不超過1%.

設(shè)𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛是𝑛個(gè)獨(dú)立且都服從相同柯西分布的隨機(jī)變量，證明：

證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù).

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)

求Z=max{X，Y}的密度函數(shù).