設(shè)二維隨機(jī)變量（𝜉，𝜂）具有聯(lián)合密度函數(shù)如下，證明：𝜉+𝜂的特征函數(shù)等于𝜉，𝜂的特征函數(shù)之乘積，但是𝜉，𝜂并不相互獨(dú)立.

設(shè)𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛為獨(dú)立同𝐺𝑎（𝛼，𝜆）的隨機(jī)變量，

某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品1000件，其價(jià)格為P=2000元/件，其使用壽命X（單位：天）的分布密度為

現(xiàn)由某保險(xiǎn)公司為其質(zhì)量進(jìn)行保險(xiǎn)：廠方向保險(xiǎn)公司交保費(fèi)P₀元/件，若每件產(chǎn)品若壽命小于1095天（3年），則由保險(xiǎn)公司按原價(jià)賠償2000元/件. 試?yán)弥行臉O限定理計(jì)算 
（1） 若保費(fèi)P₀=100元/件，保險(xiǎn)公司虧本的概率？ 
（2） 試確定保費(fèi)P₀，使保險(xiǎn)公司虧本的概率不超過1%.

設(shè)𝜉₁，𝜉₂，···，𝜉_𝑛是𝑛個(gè)獨(dú)立且都服從相同柯西分布的隨機(jī)變量，證明：

證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù).

設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)

求Z=max{X，Y}的密度函數(shù).

設(shè)𝜙（𝑡）是一個(gè)特征函數(shù)，ℎ>0，證明

試舉一個(gè)滿足
（1）𝜙（⇐t）=𝜙（𝑡）
（2）.|𝜙（t）|≤𝜙（0）=1
但𝜙（t）不是特征函數(shù)的例子.

判別下列函數(shù)是否是特征函數(shù)（說(shuō)明理由）。