設(shè)（ζ，η，ζ）的聯(lián)合密度函數(shù)為
試證：ζ，η，ζ兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。

設(shè)X₁，X₂，---，Xn為取自總體X~N（μ₀，σ²）的簡單隨機(jī)樣本，其中μ₀為已知常數(shù)，選擇統(tǒng)計量，求σ²的1-α的置信區(qū)間。

（1）若（ζ，η）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問ζ與η是否相互獨(dú)立？

（2）若（ζ，η）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問ζ與η是否相互獨(dú)立？

有一種新安眠劑，據(jù)說在一定劑量下能比某種就舊安眠劑平均增加睡眠時間3小時，根據(jù)資料用某種舊安眠劑時平均睡眠時間為20.8小時，均方差為1.8小時，為了檢驗(yàn)新安眠劑的這種說法是否正確，收集到一種使用新安眠劑的睡眠時間（以小時為單位）為：26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4。
試問這組數(shù)據(jù)能否說明新安眠劑已達(dá)到新的療效？（α=0.05）

設(shè)子樣（ζ₁，...，ζ_n）取自正態(tài)母體，已知，對檢驗(yàn)假設(shè)的問題，取臨界域。
（i）求此檢驗(yàn)犯第一類錯誤的概率α，犯第二類錯誤的概率β，并討論它們之間的關(guān)系。
（ii）設(shè)μ₀=0.5，σ²₀=0.04，α=0.05，n=9，求μ=0.65時不犯第二類錯誤的概率。