設(shè)X₁，X₂，---，Xn為取自總體X~N（μ₀，σ²）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，其中μ₀為已知常數(shù)，選擇統(tǒng)計(jì)量，求σ²的1-α的置信區(qū)間。

（1）若（ζ，η）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問ζ與η是否相互獨(dú)立？

（2）若（ζ，η）的聯(lián)合密度函數(shù)為，問ζ與η是否相互獨(dú)立？

有一種新安眠劑，據(jù)說(shuō)在一定劑量下能比某種就舊安眠劑平均增加睡眠時(shí)間3小時(shí)，根據(jù)資料用某種舊安眠劑時(shí)平均睡眠時(shí)間為20.8小時(shí)，均方差為1.8小時(shí)，為了檢驗(yàn)新安眠劑的這種說(shuō)法是否正確，收集到一種使用新安眠劑的睡眠時(shí)間（以小時(shí)為單位）為：26.7，22.0，24.1，21.0，27.2，25.0，23.4。
試問這組數(shù)據(jù)能否說(shuō)明新安眠劑已達(dá)到新的療效？（α=0.05）

設(shè)子樣（ζ₁，...，ζ_n）取自正態(tài)母體，已知，對(duì)檢驗(yàn)假設(shè)的問題，取臨界域。
（i）求此檢驗(yàn)犯第一類錯(cuò)誤的概率α，犯第二類錯(cuò)誤的概率β，并討論它們之間的關(guān)系。
（ii）設(shè)μ₀=0.5，σ²₀=0.04，α=0.05，n=9，求μ=0.65時(shí)不犯第二類錯(cuò)誤的概率。

若f₁（x），f₂（x），f₃（x）是對(duì)應(yīng)于分布函數(shù)F₁（x），F(xiàn)₂（x），F(xiàn)₃（x）的密度函數(shù)，證明對(duì)于一切α（-1＜α＜1），下列函數(shù)是密度函數(shù)，且具有相同的邊際密度函數(shù)f₁（x），f₂（x），f₃（x）：