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問答題設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A的正負(fù)慣性指數(shù)都不為零，證明：存在非零向量x₁，x₂和x₃，使得x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂=0和x₃^TAx₃<0.

1.問答題設(shè)α₁=（1，1，1），α₂=（2，2，2），α₃=（0，1，-1），β₁=（1，2，0），β₂=（2，3，1），試證向量組α₁，α₂，α₃與向量組β₁，β₂等價(jià)。

2.問答題設(shè)a₁，a₂，…，a_r（r≤n）是互不相同的數(shù)，α_i=（1，a_i，a²_i，…，a^n-1_i），i=1，2，…，r。證明：向量組α₁，α₁，…，α_r線性無關(guān)。

3.問答題設(shè)n階實(shí)對稱冪等矩陣A（A²=A）的秩為r，試求：det（I+A+A²+…+Aⁿ）.

4.問答題設(shè)n階實(shí)對稱冪等矩陣A（A²=A）的秩為r，試求：二次型x^TAx的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.

5.問答題設(shè)α₁，α₂，α₃，α₄線性相關(guān)，但其中任意三個(gè)向量都線性無關(guān)，證明：比存在一組全不為零的數(shù)k₁，k₂，k₃，k₄，使得k₁α₁，k₂α₂，k₃α₃，k₄α₄=0。

6.問答題試證對于任意n維向量組α₁，α₂，α₃，向量組α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁總線性相關(guān)。

7.問答題 設(shè)A=，求正交矩陣Q，使得Q^TAQ為對角矩陣.

8.問答題若任何全不為零的數(shù)k₁，k₂，…，k_m都使k₁α₁+k₂α₂+…+k_mα_m≠0，則α₁，α₂，…，α_m線性無關(guān)；舉例說明結(jié)論不正確。

9.問答題 設(shè)n階實(shí)對稱矩陣A的秩為r，試證明：
根據(jù)已知條件，A可以表示為r個(gè)秩為1的實(shí)對稱矩陣之和.

10.問答題若α₁，α₂，…，α_m線性相關(guān)，β₁、β₂，…，β_s線性無關(guān)，則只有當(dāng)k_i（i=1，2，…，m+s）全為零時(shí)。才有k₁α₁+…+k_mα_m+k_m+1β₁+…+k_m+sβ_s=0成立；舉例說明結(jié)論不正確。