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問答題

某試驗(yàn)性生產(chǎn)線每年1月份進(jìn)行熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將1/10熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊，新、老非熟練工經(jīng)過培養(yǎng)及實(shí)踐至年終考核有2/5成為熟練工。設(shè)第n年1月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為x_n和y_n，記成向量。

驗(yàn)證是A的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值。

參考答案：

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1.問答題設(shè)A是奇數(shù)階實(shí)對(duì)稱矩陣，且det（A）>0，證明：存在非零的向量x₀，使x₀^TAx₀>0.

參考答案：

2.問答題設(shè)α₁=（1，0，1，0），α₂=（-1，-2，1，6），α₃=（1，-1，2，3），驗(yàn)證α₁，α₂為向量組α₁，α₂，α₃的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。

參考答案：

3.問答題設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的正負(fù)慣性指數(shù)都不為零，證明：存在非零向量x₁，x₂和x₃，使得x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂=0和x₃^TAx₃<0.

參考答案：

4.問答題設(shè)α₁=（1，1，1），α₂=（2，2，2），α₃=（0，1，-1），β₁=（1，2，0），β₂=（2，3，1），試證向量組α₁，α₂，α₃與向量組β₁，β₂等價(jià)。

參考答案：

5.問答題設(shè)a₁，a₂，…，a_r（r≤n）是互不相同的數(shù)，α_i=（1，a_i，a²_i，…，a^n-1_i），i=1，2，…，r。證明：向量組α₁，α₁，…，α_r線性無(wú)關(guān)。

參考答案：

6.問答題設(shè)n階實(shí)對(duì)稱冪等矩陣A（A²=A）的秩為r，試求：det（I+A+A²+…+Aⁿ）.

參考答案：

7.問答題設(shè)n階實(shí)對(duì)稱冪等矩陣A（A²=A）的秩為r，試求：二次型x^TAx的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形.

參考答案：

8.問答題設(shè)α₁，α₂，α₃，α₄線性相關(guān)，但其中任意三個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)，證明：比存在一組全不為零的數(shù)k₁，k₂，k₃，k₄，使得k₁α₁，k₂α₂，k₃α₃，k₄α₄=0。

參考答案：

9.問答題試證對(duì)于任意n維向量組α₁，α₂，α₃，向量組α₁-α₂，α₂-α₃，α₃-α₁總線性相關(guān)。

參考答案：

10.問答題 設(shè)A=，求正交矩陣Q，使得Q^TAQ為對(duì)角矩陣.

參考答案：