設n邊型的n個頂點逆時針依次為M₁（x₁，y₁），M2（x₂，y₂），…，Mn（x_n，y_n），試利用曲線積分證明此n邊型的面積為

確定閉曲線C，使曲線積分達到最大值

利用曲線積分，其中L為圓周（x-1）²+y²=2，L的的方向為逆時針方向。

利用曲線積分，求下列曲線所圍成的圖形的面積：
（1）星形線x=acos³t，y=asin³t；
（2）橢圓9x²+16y²=144；
（3）圓x²+y²=2ax。

計算下列曲線積分，并驗證格林公式的正確性；
（1）其中L是由拋物線y=x²和y²=x所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線；

（2）其中L是四個頂點分別為（0，0）（2，0）（2，2）（0，2）的正方形區(qū)域的正向邊界。

設Γ為曲線x=t，y=t²，z=t³上相應于t從0變到1的曲線?。褜ψ鴺说那€積分化成對弧長的曲線積分。

把對坐標的曲線積分化成對弧長的曲線積分，其中L為：
（1）在x0y面內沿直線從點（0，0）到點（0，1）
（2）沿拋物線y=x²從點（0，0）到點（1，1）；
（3）沿上半圓周x²+y²=2x從點（0，0）到點（1，1）。

計算，其中L是：
（1）拋物線y²=x上從點（1，1）到點（4，2）的一段?。?br /> （2）從點（1，1）到點（4，2）的直線段；
（3）先沿直線從點（1，1）到點（1，2），然后在再沿直線到點（4，2）的折線；
（4）曲線x=2t²+t+1，t=t²+1上從點（1，1）到點（4，2）的一段弧。

計算對坐標的曲面積分：
其中L是拋物線y=x²上從點（0，0）到點（2，4）的一段弧。