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問答題在R⁴中求一單位向量，與（1，1，-1，1）^T，（1，-1，-1，1）^T，（2，1，1，3）^T都正交（內(nèi)積按通常定義）。

1.問答題 證明：對任意的一個內(nèi)積。

2.問答題 證明：在R²中，對于α=（a₁，a₂）^T，β=（b₁，b₂）^T∈R²，（α，β）=α^TAβ為R²的一個內(nèi)積，其中

3.問答題 設(shè)用平方根法證明A是正定的，并給出方程組Ax=b的解。

4.問答題利用改進的平方根法設(shè)計一種計算正定對稱矩陣的逆的算法。

5.問答題證明：若A∈R^n*n是對稱的，而且其前n-1個順序主子陣均非奇異，則A有唯一的分解式：A=LDL^T，其中L是單位下三角矩陣，D是對角矩陣。

6.問答題 設(shè)R³的線性變換σ，對于基

求σ在基α₁，α₂，α₃下的矩陣。

7.問答題若A=LL^T是A的Cholesky分解，試證L的i階順序主子陣L_i正好是A的i階順序主子陣A_i的Cholesky因子。

8.問答題 設(shè)R³的線性變換σ，對于基

求σ在基ε₁=（1，0，0）^T，ε₂=（0，1，0）^T，ε₃=（0，0，1）^T下的矩陣。

9.問答題設(shè)α₁=（1，2）^T，α₂=（0，1）^T為R²的一組基。且β₁=（2，3）^T，β₂=（1，4）^T，證明：在R²中存在唯一的線性變換σ，使σ（α_i）=β_i（i=1，2）。并且對于α=（3，4）^T求σ（α）。

10.問答題證明：如果A是一個帶寬為2m+1的對稱正定帶狀矩陣，則其Chelesky因子L也是帶狀矩陣。L的帶寬為多少？