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問答題

設(shè)隨機變量𝜉的密度函數(shù)如下。

𝜂=𝑒^𝜉；試求η的密度函數(shù).

參考答案：

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1.問答題 設(shè)隨機變量𝜉的密度函數(shù)如下。

𝜂=-2𝜉+1；試求𝜂的密度函數(shù).

參考答案：

2.問答題設(shè)隨機變量𝜉服從區(qū)間[0，5]上的均勻分布，求𝜂=3𝜉+2的密度函數(shù).

參考答案：

3.問答題隨機變量𝜉在任意有限區(qū)間[𝑎，𝑏]上的概率均大于零，其分布函數(shù)為𝐹_𝜉（𝑥），又𝜂服從[0，1]上的均勻分布.證明𝜁=𝐹_𝜉^-1（𝜂）的分布函數(shù)與𝜉的分布函數(shù)相同.

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4.問答題 設(shè)三維隨機變量（𝜉，𝜂，𝜁）的密度函數(shù)如下，試證明𝜉，𝜂，𝜁相互獨立.（注：題目中𝜋²應(yīng)是𝜋³）.

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5.問答題設(shè)（𝜉，𝜂）的分布函數(shù)分別為𝐹（𝑥，𝑦），𝑝（𝑥，𝑦）.證明：𝜉與𝜂相互獨立的充要條件是𝑝（𝑥，𝑦）（或者𝐹（𝑥，𝑦））可分離變量，即𝑝（𝑥，𝑦）=𝑔（𝑥）ℎ（𝑦），并回答𝑔（𝑥），ℎ（𝑦）與邊際密度函數(shù)有什么關(guān)系：并以此判斷前面幾題的中隨機變量的獨立性.

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6.問答題 設(shè)二維隨機變量（𝜉，𝜂）的密度函數(shù)如下，問𝜉，𝜂是否相互獨立.

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7.問答題證明：若隨機變量𝜉與自己獨立，則必有常數(shù)𝐶，使𝑃（𝜉=𝐶）=1.

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8.問答題證明：若隨機變量𝜉只取一個值𝑎，則𝜉與任意的隨機變量𝜂獨立.

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9.問答題設(shè)二維隨機變量在邊長為𝑎的正方形內(nèi)服從均勻分布，該正方形之對角線為坐標軸，求邊際密度函數(shù).

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10.問答題設(shè)𝑝₁（𝑥），𝑝₂（𝑥）都是一維分布的密度函數(shù)，為使𝑝（𝑥，𝑦）=𝑝₁（𝑥）𝑝₂（𝑦）+ℎ（𝑥，𝑦）稱為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的ℎ（𝑥，𝑦）必須滿足什么條件？

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