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問(wèn)答題設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱正定矩陣，B是m×n實(shí)矩陣，B^T為B的轉(zhuǎn)置，試證：B^TAB為正定矩陣的充分必要條件是秩r（B）=n.

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1.問(wèn)答題設(shè)有n元二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=（x₁+a₁x₂）²+（x₂+a₂x₃）²+…+（x_n-1+a_n-1x_n）²+（x_n+a_nx₁）²，其中a_i（i=1，2，…，n）為實(shí)數(shù)，試問(wèn)當(dāng)a₁，a₂，…，a_n滿足何種條件時(shí)，二次型為正定二次型.

參考答案：

2.問(wèn)答題求函數(shù)f（x，y，z）=e^2x+e^-y+e^z²-（2x+2ez-y）的極值。

參考答案：

3.問(wèn)答題 證明：設(shè)A，B分別為m，n階正定矩陣，則分塊也是正定矩陣。

參考答案：

4.問(wèn)答題設(shè)A為n階正定矩陣，I是n階單位矩陣，證明A+I的行列式大于1.

參考答案：

5.問(wèn)答題設(shè)A為n階正定矩陣，B為n階半正定矩陣，試證：A+B為正定矩陣。

參考答案：

6.問(wèn)答題判斷下列三元二次型f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+x₃²-x₁x₂+x₂x₃是不是正定二次型.

參考答案：

7.問(wèn)答題證明：若A為正定矩陣，則其伴隨矩陣A·也是正定矩陣。

參考答案：

8.問(wèn)答題 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，r（A）=n，A_ij是A=（a_ij）_n×n中元素a_ij的代數(shù)余子式（i，j=1，2，…，n），二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=.
二次型g（x）=x^TAx與f（x）的規(guī)范形是否相同？說(shuō)明理由.

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9.問(wèn)答題求a的值，使二次型為正定的：f（x₁，x₂，x₃）=5x²₁+x²₂+ax²₃+4x₁x₂-2x₁x₃-2x₂x₃

參考答案：

10.問(wèn)答題 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，r（A）=n，A_ij是A=（a_ij）_n×n中元素a_ij的代數(shù)余子式（i，j=1，2，…，n），二次型f（x₁，x₂，…，x_n）=.
記x=（x₁，x₂，…，x_n），把f（x₁，x₂，…，x_n）寫(xiě)出矩陣形式，并證明二次型f（x）的矩陣A^-1.

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