設(shè)立體Ω由旋轉(zhuǎn)拋物面Σ：z=x²+y²與Σ在點（a，b，a²+b²）（a＞0，b＞0）處的切平面以及圓柱面（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）所圍成，證明Ω的體積V僅圓柱面的半徑r相關(guān)，而與點（a，b）的位置無關(guān)。

求函數(shù)z=arctan的。

求函數(shù)z=x⁴+y⁴-4x²y²的。

設(shè)球體占有閉區(qū)域它在內(nèi)部各點處的密度的大小等于該點到坐標(biāo)原點的距離的平方，試求這球體的質(zhì)心。

圖所示的是某一建筑物的屋頂，它由曲面Σ₁與Σ₂拼接而成，Σ₁是半徑為1的半球面，Σ₂是半徑為2的半球面的一部分，試問該屋頂?shù)拿娣e是多少？

從一塊半為R的圓鐵片上挖去一個扇形做成一個漏（如圖）問留下的扇形的中心角φ取多大時，做成的漏斗的容積最大？

設(shè)一個直橢圓的錐面方程為（z-1）²= （0≤z≤1，a〉0，b〉0），若將該直橢圓錐體切削成長方體（長方體的長、寬、高平行于坐標(biāo)軸，如圖所示），試用拉格朗日乘數(shù)法求所能獲得的長方體的最大體積。