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大學試題

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單項選擇題 設α=（1，-1，2）^T是矩陣的一個特征向量，則a，b的值分別為（）。

A.5；2
B.1；-3
C.-2；5
D.-3；1

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1.問答題設三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α₁=（-1，2，-1）^T，α₂=（0，-1，1）^T是線性方程組Ax=0的兩個解。求正交矩陣Q和對角矩陣A，使得Q^TAQ=A。

參考答案：

2.問答題設三階實對稱矩陣A的各行元素之和均為3，向量α₁=（-1，2，-1）^T，α₂=（0，-1，1）^T是線性方程組Ax=0的兩個解。求A的特征值和特征向量。

參考答案：

3.問答題設三階實對稱矩陣A的特征值λ₁=-1，λ₂=λ₃=1，對應于λ₁的特征向量為α₁=（0，1，1）^T，求矩陣A。

參考答案：

4.問答題設A為n階正交矩陣，證明：若|A|=1，n為奇數(shù)，則1是A的特征值。

參考答案：

5.問答題 設矩陣相似.
（1）求x，y；
（2）求一個可逆矩陣P，使P^-1AP=B.

參考答案：

6.問答題設A為n階正交矩陣，證明：若|A|=-1，則-1是A的特征值。

參考答案：

7.問答題設A，B為n階正交矩陣，且|A|+|B|=0，證明：|A+B|=0。

參考答案：

8.單項選擇題設n階方陣A與B相似，則（）

A.A-λE=B-λE
B.A與B有相同的特征值及特征向量
C.A與B都相似于同一對角矩陣A
D.對任意常數(shù)k，A-kE與B-kE相似

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9.問答題設矩陣A=I-αα^T，其中α為n維非零列向量，且α^Tα=k。若A是正交矩陣，求k的值。

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10.問答題 設n階矩陣A≠O，且滿足A^m=O（m為正整數(shù)）
（1）求A的特征值
（2）判斷矩陣A是否可相似于一個對角矩陣
（3）證明：|I+A|=1

參考答案：