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問答題求向量組α₁=（3，2，-1，-3，-2），α₂=（2，-1，3，1，-3），α₃=（7，0，5，-1，-8）的秩及一個極大線性無關組。

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1.問答題 考察棲息在同一地區(qū)的兔子和狐貍的生態(tài)模型，對兩種動物的數量的相互依存的關系可用以下模型描述：

其中x_n，y_n分別表示第n年時兔子和狐貍的數量，而x₀，y₀分別表示基年（n=0）時，兔子和狐貍的數量，記。
寫出該模型的矩陣形式。

參考答案：

2.問答題求向量組α₁=（1，2，3），α₂=（2，3，1），α₃=（3，1，2）的秩及一個極大線性無關組。

參考答案：

3.問答題若P是可逆矩陣，用定義證明：P^TP是正定矩陣.

參考答案：

4.問答題 某試驗性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統(tǒng)計，然后將1/10熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊，新、老非熟練工經過培養(yǎng)及實踐至年終考核有2/5成為熟練工。設第n年1月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為x_n和y_n，記成向量。

當時，求。

參考答案：

5.問答題 某試驗性生產線每年1月份進行熟練工與非熟練工的人數統(tǒng)計，然后將1/10熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊，新、老非熟練工經過培養(yǎng)及實踐至年終考核有2/5成為熟練工。設第n年1月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為x_n和y_n，記成向量。

驗證是A的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值。

參考答案：

6.問答題設A是奇數階實對稱矩陣，且det（A）>0，證明：存在非零的向量x₀，使x₀^TAx₀>0.

參考答案：

7.問答題設α₁=（1，0，1，0），α₂=（-1，-2，1，6），α₃=（1，-1，2，3），驗證α₁，α₂為向量組α₁，α₂，α₃的一個極大線性無關組。

參考答案：

8.問答題設n階實對稱矩陣A的正負慣性指數都不為零，證明：存在非零向量x₁，x₂和x₃，使得x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂=0和x₃^TAx₃<0.

參考答案：

9.問答題設α₁=（1，1，1），α₂=（2，2，2），α₃=（0，1，-1），β₁=（1，2，0），β₂=（2，3，1），試證向量組α₁，α₂，α₃與向量組β₁，β₂等價。

參考答案：

10.問答題設a₁，a₂，…，a_r（r≤n）是互不相同的數，α_i=（1，a_i，a²_i，…，a^n-1_i），i=1，2，…，r。證明：向量組α₁，α₁，…，α_r線性無關。

參考答案：