設總體X服從參數為λ的泊松分布，對于假設H₀：λ=0.5，H₁：λ=2，H₀的拒絕域為D={X₁+X₂≥3}，試求此檢驗問題犯第一類錯誤（棄真）及犯第二類錯誤（取偽）的概率。

設總體X的概率密度為，其中θ>0是未知參數，X₁，X₂為樣本。

1、證明：都是θ的無偏估計。

2、比較T₁，T₂的有效性。

設總體X的概率密度為，其中λ>0是未知參數，α>0是已知常數，X₁，X₂，…，X_n為樣本，求λ的矩估計和極大似然估計。

有一種新安眠劑，據說在一定劑量下能比某種舊安眠劑平均增加睡眠時間3小時，為了檢驗新安眠劑的這種說法是否正確，收集到一組使用新安眠劑的睡眠時間（單位：小時）：

根據資料用某種舊安眠劑時平均睡眠時間為20.8小時，假設用安眠劑后睡眠時間服從正態(tài)分布，試問這組數據能否說明新安眠劑的療效？（α=0.05）

若總體X服從正態(tài)分布N（1，1.2²），樣本X₁，X₂，…，X_n來自總體X，要使樣本均值滿足不等式，求樣本容量n最少應取多少？

設有線性模型，其中ε_i～N（0，σ²）（i=1，2，3）且相互獨立，試求：
（1）β₁和β₂的最小二乘估計。
（2）給出β₁和β₂的分布并證明他們的獨立性。
（3）導出檢驗H₀：β₁=β₂的檢驗統(tǒng)計量。

為了檢驗某種自來水消毒設備的效果，現(xiàn)從消毒后的水中隨機取50L，化驗每升水中大腸桿菌的個數（一升水中大腸桿菌的個數服從Poisson分布），化驗結果如下：

試問平均每升水中大腸桿菌個數為多少時才能使得上述情況發(fā)生的概率最大？

設X₁，X₂，…，X_n是總體X的一個樣本，試求下列總體的矩估計量和極大似然估計量。
（1）總體X的分布律是P（X=k）=θ（1-θ）^k-1（k=1，2，3，…），其中0＜θ＜1未知參數。
（2）X的密度函數為（θ＞0為待估計參數）