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問(wèn)答題

在線(xiàn)性空間P[x]₃中，下列向量組是否為一個(gè)基？

1+x，x+x²，1+x³，2+2x+x²+x³

1.問(wèn)答題設(shè)η₁，η₂，...，η_s是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的一組解向量，如果c₁η₁+c₂η₂+...c_sη_s也是該方程組的一個(gè)解向量，求：c₁+c₂+...+c_s

2.問(wèn)答題 驗(yàn)證以下條件，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線(xiàn)性空間，并寫(xiě)出各個(gè)空間的一個(gè)基。
2階對(duì)稱(chēng)矩陣的全體S₃。

3.問(wèn)答題 驗(yàn)證以下條件，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線(xiàn)性空間，并寫(xiě)出各個(gè)空間的一個(gè)基。
主對(duì)角線(xiàn)上的元素之和等于0的2階矩陣的全體S₂。

4.問(wèn)答題設(shè)η^*是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的一個(gè)解，ξ₁，ξ₂，...，ξ_n-r是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明η^*，η^*+ξ₁，...，η^*+ξ_n-r。

5.問(wèn)答題設(shè)η^*是非齊次線(xiàn)性方程組Ax=b的一個(gè)解，ξ₁，ξ₂，...，ξ_n-r是對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系．證明η^*，ξ₁，...，ξ_n-r線(xiàn)性無(wú)關(guān)。

6.問(wèn)答題驗(yàn)證：與向量（0，0，1）^T不平行的全體3維數(shù)組向量，對(duì)于數(shù)組向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算不構(gòu)成線(xiàn)性空間。

7.問(wèn)答題判別二次型f=x₁²+3x₂²+9x₃²+19x₄²-2x₁x₂+4x₁x₃+2x₁x₄-6x₂x₄-12x₃x₄的正定性。

8.問(wèn)答題 驗(yàn)證以下條件，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成線(xiàn)性空間，并寫(xiě)出各個(gè)空間的一個(gè)基。
2階矩陣的全體S₁。

9.問(wèn)答題判別二次型f=-2x₁²-6x₂²-4x₃²+2x₁x₂+2x₂x₃的正定性。

10.問(wèn)答題設(shè)f=x₁²+x₂²+5x₃²+2ax₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃為正定二次型，求a。