設總體X服從正態(tài)分布N（0，θ），X₁，X₂，…，X_n是來自總體X的樣本，又設參數θ的先驗分布為逆伽瑪分布（記作θ~IΓ（α，λ）），即θ的先驗密度函數為

假定損失函數是，試求參數θ的貝葉斯估計。

設X服從貝努里分布B（1，p），其中參數p的先驗分布為區(qū)間（0，1）的均勻分布，X₁，X₂，…，X_n為來自總體X的樣本，試在損失函數下，試證明p的貝葉斯估計為，且它的風險函數是常數。

設總體X服從參數為θ的指數分布E（θ），即X的概率密度函數為，X₁，X₂，…，X_n為來自總體X的樣本，θ的先驗分布為Γ分布，其密度函數為

其中α＞-1，β＞0，損失函數為，求θ的貝葉斯估計。

設總體X服從泊松分布P（λ），其中λ未知參數，λ＞：X₁，X₂，…，X_n為來自總體X的樣本，損失函數為，假定λ的先驗分布密度為

試求λ的貝葉斯估計。

當先驗分布為離散型時，后驗分布的概率密度函數為：

試證明當總體分布密度函數為p（x；θ），θ∈Θ，且θ得先驗分布的密度函數為π（θ）時，θ的后驗分布可以按下列公式計算。

當先驗分布為連續(xù)型時，后驗分布的概率密度函數為：

設（X₁，X₂，…，X_n）是來自正態(tài)總體N（μ，σ²）的樣本，其中μ，σ²未知，-∞＜μ＜+∞，σ²＞0，現給出σ²的三種估計量：

試求在平方損失函數L（σ²，d）=（σ²-d）²下的風險函數，并比較風險函數值的大小。