設(shè)X服從貝努里分布B（1，p），其中參數(shù)p的先驗(yàn)分布為區(qū)間（0，1）的均勻分布，X₁，X₂，…，X_n為來(lái)自總體X的樣本，試在損失函數(shù)下，試證明p的貝葉斯估計(jì)為，且它的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)是常數(shù)。

設(shè)總體X服從參數(shù)為θ的指數(shù)分布E（θ），即X的概率密度函數(shù)為，X₁，X₂，…，X_n為來(lái)自總體X的樣本，θ的先驗(yàn)分布為Γ分布，其密度函數(shù)為

其中α＞-1，β＞0，損失函數(shù)為，求θ的貝葉斯估計(jì)。

設(shè)總體X服從泊松分布P（λ），其中λ未知參數(shù)，λ＞：X₁，X₂，…，X_n為來(lái)自總體X的樣本，損失函數(shù)為，假定λ的先驗(yàn)分布密度為

試求λ的貝葉斯估計(jì)。

當(dāng)先驗(yàn)分布為離散型時(shí)，后驗(yàn)分布的概率密度函數(shù)為：

試證明當(dāng)總體分布密度函數(shù)為p（x；θ），θ∈Θ，且θ得先驗(yàn)分布的密度函數(shù)為π（θ）時(shí)，θ的后驗(yàn)分布可以按下列公式計(jì)算。

當(dāng)先驗(yàn)分布為連續(xù)型時(shí)，后驗(yàn)分布的概率密度函數(shù)為：

設(shè)（X₁，X₂，…，X_n）是來(lái)自正態(tài)總體N（μ，σ²）的樣本，其中μ，σ²未知，-∞＜μ＜+∞，σ²＞0，現(xiàn)給出σ²的三種估計(jì)量：

試求在平方損失函數(shù)L（σ²，d）=（σ²-d）²下的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，并比較風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值的大小。

設(shè)（X₁，X₂，…，X_n）是來(lái)自正態(tài)總體N（0，σ²）的樣本，其中σ²未知，現(xiàn)給出σ²的五種估計(jì)量：

試在平方損失函數(shù)L（σ²，d）=（σ²-d）²下，求出它們的風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)，并比較風(fēng)險(xiǎn)函數(shù)值的大小。

在一個(gè)參數(shù)統(tǒng)計(jì)模型中，如果要求未知參數(shù)θ的單側(cè)區(qū)間估計(jì)，試寫(xiě)出決策空間，并給出適當(dāng)?shù)膿p失函數(shù)。