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問(wèn)答題 在R⁴中，對(duì)于通常的內(nèi)積，求α和β的夾角。
α=（2，1，3，2）^T，β=（1，2，-2，1）^T

1.問(wèn)答題在R⁴中求一單位向量，與（1，1，-1，1）^T，（1，-1，-1，1）^T，（2，1，1，3）^T都正交（內(nèi)積按通常定義）。

2.問(wèn)答題 證明：對(duì)任意的一個(gè)內(nèi)積。

3.問(wèn)答題 證明：在R²中，對(duì)于α=（a₁，a₂）^T，β=（b₁，b₂）^T∈R²，（α，β）=α^TAβ為R²的一個(gè)內(nèi)積，其中

4.問(wèn)答題 設(shè)用平方根法證明A是正定的，并給出方程組Ax=b的解。

5.問(wèn)答題利用改進(jìn)的平方根法設(shè)計(jì)一種計(jì)算正定對(duì)稱矩陣的逆的算法。

6.問(wèn)答題證明：若A∈R^n*n是對(duì)稱的，而且其前n-1個(gè)順序主子陣均非奇異，則A有唯一的分解式：A=LDL^T，其中L是單位下三角矩陣，D是對(duì)角矩陣。

7.問(wèn)答題 設(shè)R³的線性變換σ，對(duì)于基

求σ在基α₁，α₂，α₃下的矩陣。

8.問(wèn)答題若A=LL^T是A的Cholesky分解，試證L的i階順序主子陣L_i正好是A的i階順序主子陣A_i的Cholesky因子。

9.問(wèn)答題 設(shè)R³的線性變換σ，對(duì)于基

求σ在基ε₁=（1，0，0）^T，ε₂=（0，1，0）^T，ε₃=（0，0，1）^T下的矩陣。

10.問(wèn)答題設(shè)α₁=（1，2）^T，α₂=（0，1）^T為R²的一組基。且β₁=（2，3）^T，β₂=（1，4）^T，證明：在R²中存在唯一的線性變換σ，使σ（α_i）=β_i（i=1，2）。并且對(duì)于α=（3，4）^T求σ（α）。