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問答題

設(shè)：（Ⅰ）a₁，a₂，...a_n與（Ⅱ）：β₁，β₂，...β_n是向量空間Pⁿ的兩組基。

設(shè)基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為M，若秩（E-M）=r，則dim（W）=n-r。

參考答案：

1.問答題 用正交變換化二次型f（x₁，x₂，x₃）=為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣。

2.問答題 設(shè)：（Ⅰ）a₁，a₂，...a_n與（Ⅱ）：β₁，β₂，...β_n是向量空間Pⁿ的兩組基。
證明在基（Ⅰ），基（Ⅱ）下坐標(biāo)完全相同向量的全體組成的集合W是Pⁿ的一個(gè)子空間。

3.問答題設(shè)A是m行n列矩陣，如果線性方程組AX=β對(duì)于任意m維向量β都有解，證明A的秩等于m。

4.問答題 求矩陣A=，列向量組生成的子窄間的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基。

5.問答題 設(shè)向量組a₁，a₂，...a_t與向量組β₁，β₂，...β_s等價(jià)，令

其中P為數(shù)域，證明：W=V。

6.問答題 設(shè)A=，計(jì)算detA。

7.問答題已知a₁=[1，1，0，0]^T，a₂=[1，0，1，0]^T，a₃=[-1，0，0，1]^T是線性無關(guān)向量組，求與此向量組等價(jià)的兩兩正交的單位向量組。

8.問答題已知a₁=[1，2，1]^T，a₂=[2，3，3]^T，a₃=[3，7，1]^T是歐氏空間R³的一組基，將它改造成為R³的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。

9.問答題 已知?dú)W氏空間R⁴中向量

若a=a₁+2a₂+3a₃+4a₄，求：║a║，（a，β）。

10.問答題 已知?dú)W氏空間R⁴中向量

a₁，a₂，a₃，a₄是否是R⁴的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。