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大學試題

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問答題 用正交變換化二次型f（x₁，x₂，x₃）=為標準型，并寫出正交變換矩陣。

參考答案：

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1.問答題 設：（Ⅰ）a₁，a₂，...a_n與（Ⅱ）：β₁，β₂，...β_n是向量空間Pⁿ的兩組基。
證明在基（Ⅰ），基（Ⅱ）下坐標完全相同向量的全體組成的集合W是Pⁿ的一個子空間。

參考答案：

2.問答題設A是m行n列矩陣，如果線性方程組AX=β對于任意m維向量β都有解，證明A的秩等于m。

參考答案：

3.問答題 求矩陣A=，列向量組生成的子窄間的一個標準正交基。

參考答案：

4.問答題 設向量組a₁，a₂，...a_t與向量組β₁，β₂，...β_s等價，令

其中P為數(shù)域，證明：W=V。

參考答案：

5.問答題 設A=，計算detA。

參考答案：

6.問答題已知a₁=[1，1，0，0]^T，a₂=[1，0，1，0]^T，a₃=[-1，0，0，1]^T是線性無關(guān)向量組，求與此向量組等價的兩兩正交的單位向量組。

參考答案：

7.問答題已知a₁=[1，2，1]^T，a₂=[2，3，3]^T，a₃=[3，7，1]^T是歐氏空間R³的一組基，將它改造成為R³的一組標準正交基。

參考答案：

8.問答題 已知歐氏空間R⁴中向量

若a=a₁+2a₂+3a₃+4a₄，求：║a║，（a，β）。

參考答案：

9.問答題 已知歐氏空間R⁴中向量

a₁，a₂，a₃，a₄是否是R⁴的一組標準正交基。

參考答案：

10.問答題在歐氏空間R⁴中，求一單位向量向量a，使其與a₁=[1，1，-1，1]^T，a₂=[1，-1，-1，1]^T，a₃=[2，1，1，3]^T都正交。

參考答案：