設(shè)立體Ω由旋轉(zhuǎn)拋物面Σ：z=x²+y²與Σ在點(diǎn)（a，b，a²+b²）（a＞0，b＞0）處的切平面以及圓柱面（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）所圍成，證明Ω的體積V僅圓柱面的半徑r相關(guān)，而與點(diǎn)（a，b）的位置無關(guān)。

求函數(shù)z=arctan的。

求函數(shù)z=x⁴+y⁴-4x²y²的。

設(shè)球體占有閉區(qū)域它在內(nèi)部各點(diǎn)處的密度的大小等于該點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方，試求這球體的質(zhì)心。

圖所示的是某一建筑物的屋頂，它由曲面Σ₁與Σ₂拼接而成，Σ₁是半徑為1的半球面，Σ₂是半徑為2的半球面的一部分，試問該屋頂?shù)拿娣e是多少？

從一塊半為R的圓鐵片上挖去一個(gè)扇形做成一個(gè)漏（如圖）問留下的扇形的中心角φ取多大時(shí)，做成的漏斗的容積最大？