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問答題 在R^n×n中定義線性變化
σ（X）=BXC，
其中
求σ（X）在基{E₁₁，E₁₂，E₂₁，E₂₂}下的對(duì)應(yīng)矩陣，其中E_ij為i行j列元素為1，其余元素為0的二階矩陣.

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1.問答題 A是正定陣，如果對(duì)A執(zhí)行Gauss消去一步產(chǎn)生一個(gè)形式為的陣矩，證明A₂仍是正定陣。

參考答案：

2.問答題設(shè)A∈R^n×n有三角分解。指出當(dāng)把Gauss消去法應(yīng)用于n×（n+1）矩陣〖A，b〗時(shí)，怎樣才能不必存儲(chǔ)L而解出Ax=b？需要多少次乘法運(yùn)算？

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3.問答題線性空間中，證明：k（a-b）=ka-kb。

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4.問答題已知R³的線性變換對(duì)于基α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1），^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為 σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^Tσ（γ）在基{α₁，α₂，α₃}下的坐標(biāo)向量為（2，-4，-2）^T，問：原象γ是否唯一？如不唯一，求所有的原象γ.

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5.問答題線性空間中，證明：k0=0。

參考答案：

6.問答題已知R³的線性變換對(duì)于基α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1），^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為 σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^Tβ=（1,1,1）^T，求σ（β）；

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7.問答題設(shè)A為n階實(shí)反對(duì)稱矩陣（即A^T=-A），且存在列向量X，Y∈Rⁿ，使AX=Y求證：X與Y正交。

參考答案：

8.問答題已知R³的線性變換對(duì)于基α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1），^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為 σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^Tα在基{α₁，α₂，α₃}下的坐標(biāo)向量為（5,1,1）^T，求σ（α）在基{α₁，α₂，α₃}下的坐標(biāo)向量；

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9.問答題 設(shè)A=【a_ij】∈R^n×n是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，即A滿足
又設(shè)經(jīng)過一步Gauss消去后，A具有如下形式
試證：矩陣A₂仍是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣。由此判斷：對(duì)于對(duì)稱的嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣來說，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得同樣的結(jié)果。

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10.問答題已知R³的線性變換對(duì)于基α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1），^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為 σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T求σ（β₁），σ（β₂），σ（β₃）；

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