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問答題設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，且R（A）=n，證明A^TA正定。

1.問答題設(shè)有n次元二次型f=x^TAx，其中|A|<0，試證存在n維列向量x₀，使x₀^TAx₀<0。

2.問答題設(shè)A,B為同階正定矩陣，證明：A+B也是正定矩陣。

3.單項(xiàng)選擇題設(shè)向量組α₁=（3，1，a）^T，α₂=（4，a，0）^T，α₃=（1，0，a）^T線性無關(guān)，則（）。

A.a=0或2
B.a≠1且a≠-2
C.a=1或-2
D.a≠0且a≠2

4.單項(xiàng)選擇題設(shè)向量組α₁=（1，3，6，2）^T，α₂=（2，1，2，-1）^T，α₃=（1，-1，a，-2）^T線性相關(guān)，則a應(yīng)滿足條件（）。

A.a=2
B.a≠2
C.a=-2
D.a≠-2

5.問答題設(shè)A是一個(gè)實(shí)對(duì)稱矩陣，試證：t充分大之后，tI+A是正定矩陣。

6.問答題問t滿足什么條件是，二次形f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+4x₂²+x₂³+2tx₁x₂+10x₁x₃+6x₂x₃是正定的。

7.單項(xiàng)選擇題設(shè)α₁=（1，0，1），α₂=（0，1，0），α₃=（0，0，1）。向量β=（-1，-1，0）可表示為α₁，α₂，α₃的線性組合：β=aα₁+bα₂+cα₃，則（）。

A.a=-1，b=-1，c=-1
B.a=1，b=-1，c=-1
C.a=-1，b=1，c=-1
D.a=-1，b=-1，c=1

8.問答題問t滿足什么條件是，二次形f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²+5x₂³+2tx₁x₂-2x₁x₃+4x₂x₃是正定的。

9.問答題 設(shè)，問A與B是否合同？A與C是否合同？為什么？

A與B不合同，因兩者的正慣性指數(shù)不同；A與C不合同，因R（A）≠R（C）。

10.問答題用可逆線性變換二次形f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+x₂²-3x₃²+2x₁x₂為規(guī)范形。并指出它的證、負(fù)慣性指數(shù)。