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問答題

判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個極大線性無關(guān)組。

α₁^T=（1，1，0），α₂^T=（0，2，0），α₃^T=（0，0，3）；

參考答案：

1.單項選擇題 如果實對稱矩陣A與矩陣B=合同，則二次型x^TAx的規(guī)范形為（）。

A.y²₁+y²₂+y²₃
B.y²₁+y²₂-y²₃
C.y²₁-y²₂-y²₃
D.y²₁+y²₂

2.問答題已知三個向量組（Ⅰ）α₁，α₂，α₃；（Ⅱ）α₁，α₂，α₃，α₄；（Ⅲ）α₁，α₂，α₃，α₅。如果各向量組的秩分別為3，3，4，試證向量組α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩為4。

3.單項選擇題 A=，則與A合同的矩陣是（）。

A.
B.
C.
D.

4.單項選擇題設(shè)A，B均為n階矩陣，且A與B合同，則（）。

A.A與B相似
B.∣A∣=∣B∣
C.A與B有相同的特征值
D.r（A）=r（B）

5.單項選擇題二次型f（x₁，x₂，x₃）=5x²₁+5x²₂+cx²₃-2x₁x₂+6x₂x₃的秩為2，則c=（）。

A.4
B.3
C.2
D.1

6.問答題設(shè)α₁，α₂，…，α_m線性無關(guān)，向量β₁可由該向量組線性表示，而向量β₂不能由該向量組線性表示，試證向量組α₁，α₂，…，α_m，lβ₁+β₂必線性無關(guān)（其中l(wèi)為常數(shù)）。

7.問答題設(shè)A是m×n實矩陣，I是n階單位階，已知B-λI+A^TA，試證：當(dāng)λ>0時，矩陣B為正定矩陣.

8.單項選擇題二次型x²₁+6x₁x₂+3x²₂的矩陣是（）。

A.
B.
C.
D.

9.單項選擇題格式中有不等式x²₁+6x₂x₂+3x²₂的是（）。

A.
B.
C.
D.

10.問答題設(shè)α₁，α₂，α₃均為n維向量，證明向量組α₁+α₂，α₂，α₃，α₁+α₃線性無關(guān)的充分必要條件是向量組α₁，α₂，α₃線性無關(guān)。