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大學試題

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問答題 在四元實向量構(gòu)成的線性空間R⁴中，求a使β₁，β₂，β₃，β₄為R⁴的基，并求由基α₁，α₂，α₃，α₄到β₁，β₂，β₃，β₄的過渡矩陣P，其中。

參考答案：

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1.問答題 設A∈C^n*n,x∈Cⁿ, 證明：如果X是非奇異的，則X^-1AX是上Hessenberg矩陣。

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2.問答題設β=[7，-2，a]^T，a₁=[2，3，5]^T，a₂=[3，7，8]^T，a₃=[1，-6，1]^T，問a為多少時，β可經(jīng)a₁，a₂，a₃線性表示？為什么？a取值為多少時，β不能經(jīng)a₁，a₂，a₃線性表示？為什么？

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3.問答題 設線性方程組為，問a，b各取何值時，線性方程組無解，有唯一解，有無窮多解？在有無窮多解時求出其通解。

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4.問答題 設A∈R^n*n。證明：存在初等置換矩陣P和初等下三角矩陣M使得（MP）A（MP）^-1有如下形式

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5.問答題試將向量β表示成向量a₁，a₂，a₃，a₄的線性組合：β=[0，2，0，-1]^T，a₁=[1，1，1，1]^T，a₂=[1，1，1，0]^T，a₃=[1，1，0，0]^T，a₄=[1，0，0，0]^T。

參考答案：

6.問答題 已知實二次型，（λ＞0）經(jīng)過正交變換X=QY，化為標準形，求實參數(shù)λ及正交矩陣Q。

參考答案：

7.問答題 試將向量β表示成向量a₁，a₂，a₃，a₄的線性組合：
β=[1，2，1，1]^T，a₁=[1，1，1，1]^T，a₂=[1，1，-1，-1]^T，a₃=[1，-1，1，-1]^T，a₄=[1，-1，-1，1]^T。

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8.問答題 應用基本的Q R迭代于矩陣
并考擦所得的矩陣序列的特點，并判斷該矩陣序列是否收斂？

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9.問答題 設非齊次線性方程組有三個解向量，求此方程組系數(shù)矩陣的秩，并求其通解（其中a_i，b_j，c_k，d_t為已知常數(shù)）。

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10.單項選擇題指出下述論斷正確的是（）。

A.如果當時，，則線性無關
B.若線性相關，則存在全不為零的數(shù)，使得
C.若線性無關，線性無關，則線性無關
D.若線性無關，則其中每一個向量都不是其余向量的線性組合

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