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大學(xué)試題

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問答題 設(shè)矩陣。若齊次線性方程組Ax=0的基礎(chǔ)解系中含有兩個(gè)線性無關(guān)的解向量。試求方程組Ax=0的全部解。

1.問答題 設(shè)A^*是n（n≥2）階矩陣A的伴隨矩陣。試證：。

2.問答題設(shè)A為n階矩陣，且滿足A²=I，證明：r（A+I）+r（A-I）=n。

3.問答題 設(shè)向量組α₁，α₂，…，α_s線性無關(guān)，向量組β₁，β₂，…，β_t可由α₁，α₂，…，α_s線性表示：

記矩陣C=（c_ij）_s×t，證明：向量組β₁，β₂，…，β_t線性相關(guān)的充分必要條件為。

4.問答題已知R³的兩個(gè)基為求由基a₁，a₂，a₃到基b₁，b₂，b₃的過渡矩陣P.

5.問答題驗(yàn)證a₁=（1，-1，0）^T，a₂=（2，1，3）^T，a₃=（3，1，2）^T為R³的一個(gè)基，并把V₁=（5，0，7）^T，V₂=（-9，-8，-13）^T用這個(gè)基線性表示。

6.問答題設(shè)A是n×m矩陣，B是m×n矩陣，其中m>n。如果AB=I，證明：矩陣B的列向量組線性無關(guān)。

7.問答題設(shè)向量組α₁，α₂，…，α_s和β₁，β₂，…，β_t的軼分別為r₁，r₂；向量組α₁，α₂，…，α_s，β₁，β₂，…，β_t的軼為r₃.證明：max{r₁，r₂}≤r₃≤r₁+r₂。

8.問答題由a₁=（1，1，0，0）^T，a₂=（1，0，1，1）^T所生成的向量空間記作L₁，由b₁=（2，-1，3，3）^T，b₂=（0，1，-1，-1）^T所生成的向量空間記作L₂，試證L₁=L₂.

9.問答題試證由a₁=（0，1，1）^T，a₂=（1，0，1）^T，a₃=（1，1，0）^T所生成的向量空間就是R³.

10.問答題 設(shè)向量組α₁，α₂，…，α_s線性無關(guān)，向量。證明：向量組α-α₁，α-α₂，…，α-α_s線性無關(guān)。