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問答題

設(shè)n階實(shí)對(duì)稱矩陣A的秩為r，試證明：

存在可逆矩陣C，使得C^TAC=diag（d₁，…，d_i，0，…，0）（d₁≠0，i=1，2，…，r）.

1.問答題 求一非奇異矩陣C，使C^TAC為對(duì)角矩陣：

2.問答題設(shè)α₁=（1，0，1），α₂=（0，1，1），α₃=（1，1，0），求α₁+2α₂及2α₁-α₂+3α₃。

3.問答題分別用配方法和初等變換法二次型為規(guī)范性：f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+5x²₂-4x²₃+2x₁x₂-4x₁₃

4.問答題若二次型f（x₁，…，x_n）=x^TAx對(duì)一切x=（x₁，…，x_n）^T恒有f（x₁，…，x_n）=0，證明A為n階零矩陣.

5.問答題設(shè)B是n階實(shí)矩陣，r（B）TB是半正定矩陣.

6.問答題設(shè)A，B皆是正定矩陣，且AB=BA，證明：AB也是正定矩陣.

7.問答題試證由向量組α₁=（0，1，1）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（1，1，0）^T所生成的向量空間就是R³。

8.問答題已知三維向量空間R³的兩組基為（Ⅰ）α₁=（1，1，1）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（1，0，1）^T；（Ⅱ）β₁=（1，2，1）^T，β₂=（2，3，4）^T，β₃=（3，4，3）^T，求由基（Ⅰ）到（Ⅱ）的過渡矩陣P。

9.問答題設(shè)λ₁和μ₁分別是n階實(shí)對(duì)稱矩陣A和B的最小特征值，證明：A+B的最小特征值ω大于或等于λ₁+μ₁.

10.問答題設(shè)A，B為n階正定矩陣，證明：A+B的最大特征值ρ大于A的最大特征值.