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問答題設(shè)A，B為n階正定矩陣，證明：A+B的最大特征值ρ大于A的最大特征值.

1.問答題已知向量組α₁=（1，1，0）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（0，1，1）^T為R³的一組基，求向量β=（2，0，0）^T在這組基下的坐標(biāo)。

2.問答題 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，A的n個(gè)特征值λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，證明：x∈Rⁿ，λ₁（x，x）≤（Ax，x）≤λ_n（x，x）（其中（x，y）=x^Ty表示x和y的內(nèi)積），并指出分別取怎樣的非零向量x使兩個(gè)等號(hào)成立.

3.單項(xiàng)選擇題二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁+ax₂-2x₃）²+（2x₂+3x₃）²+（x₁+3x₂+ax₃）²是正定二次型的充分必要條件是（）。

A.a〉1
B.a〈1
C.a≠1
D.a=1

4.問答題已知向量組α₁=（1，-1，2，4），α₂=（0，3，1，2），α₃=（3，0，7，14），α₄=（2，1，5，10），α₅=（1，-2，2，0），求此向量組的秩及其一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無(wú)關(guān)組線性表示。

5.單項(xiàng)選擇題若二次型f（x₁，x₂，x₃）=t（x²₁+x²₂+x²₃）+2x₁x₂+2x₁x₃-2x₂x₃為正定的，則t的取值范圍是（）。

A.（2，+∞）
B.（-∞，2）
C.（-1，1）
D.（-√2，√2）

6.單項(xiàng)選擇題設(shè)A為n階對(duì)稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是（）。

A.二次型x^TAx的負(fù)慣性指數(shù)零
B.存在n階矩陣C使得A=C^TC
C.A沒有負(fù)特征值
D.A與單位矩陣合同

7.問答題 設(shè)A為n階正定矩陣，x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ，b是一固定的實(shí)n維列向量，證明：p（x）=x^TAx-x^Tb，在x₀=A^-1b處取得最小值，且p_min=-b^TA^-1b.

8.問答題判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。α₁^T=（1，2，1，3），α₂^T=（4，-1，-5，-6），α₃^T=（1，-3，-4，-7），α₄^T=（2，1，-1，0）。

9.單項(xiàng)選擇題對(duì)于二次型f（x₁，x₂，...，x_n）=x^TAx，其中A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，下述個(gè)結(jié)論中正確的是（）。

A.化f為標(biāo)準(zhǔn)型的可逆線性變換是唯一的
B.化f為規(guī)范型的可逆線性變換是唯一的
C.f的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的
D.f的規(guī)范形是唯一的

10.問答題 判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。
α₁^T=（1，1，0），α₂^T=（0，2，0），α₃^T=（0，0，3）；