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問答題試證由向量組α₁=（0，1，1）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（1，1，0）^T所生成的向量空間就是R³。

1.問答題已知三維向量空間R³的兩組基為（Ⅰ）α₁=（1，1，1）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（1，0，1）^T；（Ⅱ）β₁=（1，2，1）^T，β₂=（2，3，4）^T，β₃=（3，4，3）^T，求由基（Ⅰ）到（Ⅱ）的過渡矩陣P。

2.問答題設(shè)λ₁和μ₁分別是n階實對稱矩陣A和B的最小特征值，證明：A+B的最小特征值ω大于或等于λ₁+μ₁.

3.問答題設(shè)A，B為n階正定矩陣，證明：A+B的最大特征值ρ大于A的最大特征值.

4.問答題已知向量組α₁=（1，1，0）^T，α₂=（1，0，1）^T，α₃=（0，1，1）^T為R³的一組基，求向量β=（2，0，0）^T在這組基下的坐標。

5.問答題 設(shè)A為n階實對稱矩陣，A的n個特征值λ₁≤λ₂≤…≤λ_n，證明：x∈Rⁿ，λ₁（x，x）≤（Ax，x）≤λ_n（x，x）（其中（x，y）=x^Ty表示x和y的內(nèi)積），并指出分別取怎樣的非零向量x使兩個等號成立.

6.單項選擇題二次型f（x₁，x₂，x₃）=（x₁+ax₂-2x₃）²+（2x₂+3x₃）²+（x₁+3x₂+ax₃）²是正定二次型的充分必要條件是（）。

A.a〉1
B.a〈1
C.a≠1
D.a=1

7.問答題已知向量組α₁=（1，-1，2，4），α₂=（0，3，1，2），α₃=（3，0，7，14），α₄=（2，1，5，10），α₅=（1，-2，2，0），求此向量組的秩及其一個極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無關(guān)組線性表示。

8.單項選擇題若二次型f（x₁，x₂，x₃）=t（x²₁+x²₂+x²₃）+2x₁x₂+2x₁x₃-2x₂x₃為正定的，則t的取值范圍是（）。

A.（2，+∞）
B.（-∞，2）
C.（-1，1）
D.（-√2，√2）

9.單項選擇題設(shè)A為n階對稱矩陣，則A是正定矩陣的充分必要條件是（）。

A.二次型x^TAx的負慣性指數(shù)零
B.存在n階矩陣C使得A=C^TC
C.A沒有負特征值
D.A與單位矩陣合同

10.問答題 設(shè)A為n階正定矩陣，x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ，b是一固定的實n維列向量，證明：p（x）=x^TAx-x^Tb，在x₀=A^-1b處取得最小值，且p_min=-b^TA^-1b.