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問答題 設二次型f=2x₁²+x₂²-4x₁x₂-4x₂x₃，分別作下列滿秩變換，求新二次型.

參考答案：

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1.問答題設有n元實二次型f（x₁，x₂，···，x_n）=（x₁+a₁x₂）²+（x₂+a₂x₃）²+···+（x_n-1+a_n-1x_n）²+（x_n+a_nx₁）²，其中a_i（i=1，2，···，n）為實數(shù)，試問，當a₁，a₂，···，a_n滿足何種條件時，二次型f（x₁，x₂，···，x_n）為正定二次型.

參考答案：

2.問答題 設A為n階實對稱矩陣，R（A）=n，二次型

二次型g（x₁，x₂，···，x_n）=x^TAx與f（x₁，x₂，···，x_n）的規(guī)范形是否相同？說明理由.

參考答案：

3.問答題 設A為n階實對稱矩陣，R（A）=n，二次型

求二次型f的矩陣.

參考答案：

4.問答題 設矩陣，矩陣B=（kE+A）²，其中k為實數(shù)，E為單位矩陣，求對角矩陣A，使B與A相似，并求k為何值時，B為正定矩陣.

參考答案：

5.問答題設A為實對稱矩陣，且A³-3A²+5A-3E=0，證明：A是正定矩陣.

參考答案：

6.問答題設A為m×n實矩陣，已知B=λE+A^TA，證明：當λ>0，矩陣B為正定矩陣.

參考答案：

7.問答題設f=x^TAx是一個實二次型，有實n維向量x₁，x₂，使x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂<0，證明：必有實n維非零向量x₀，使x₀^TAx₀=0.

參考答案：

8.問答題設A是實對稱矩陣，且〡A〡<0，證明：必存在向量x₀使x₀^TAx₀<0.

參考答案：

9.問答題設A是實對稱矩陣，證明：當實數(shù)t充分大時，tE+A為正定矩陣.

參考答案：

10.單項選擇題 設A，B都是n階實對稱矩陣，矩陣A與B相似的充分必要條件是（）。

A.A
B.B
C.C
D.D

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