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問答題

設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，R（A）=n，二次型

二次型g（x₁，x₂，···，x_n）=x^TAx與f（x₁，x₂，···，x_n）的規(guī)范形是否相同？說明理由.

1.問答題 設(shè)A為n階實(shí)對(duì)稱矩陣，R（A）=n，二次型

求二次型f的矩陣.

2.問答題 設(shè)矩陣，矩陣B=（kE+A）²，其中k為實(shí)數(shù)，E為單位矩陣，求對(duì)角矩陣A，使B與A相似，并求k為何值時(shí)，B為正定矩陣.

3.問答題設(shè)A為實(shí)對(duì)稱矩陣，且A³-3A²+5A-3E=0，證明：A是正定矩陣.

4.問答題設(shè)A為m×n實(shí)矩陣，已知B=λE+A^TA，證明：當(dāng)λ>0，矩陣B為正定矩陣.

5.問答題設(shè)f=x^TAx是一個(gè)實(shí)二次型，有實(shí)n維向量x₁，x₂，使x₁^TAx₁>0，x₂^TAx₂<0，證明：必有實(shí)n維非零向量x₀，使x₀^TAx₀=0.

6.問答題設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，且〡A〡<0，證明：必存在向量x₀使x₀^TAx₀<0.

7.問答題設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)t充分大時(shí)，tE+A為正定矩陣.

8.單項(xiàng)選擇題 設(shè)A，B都是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，矩陣A與B相似的充分必要條件是（）。

A.A
B.B
C.C
D.D

9.問答題 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣
求一個(gè)正交矩陣P，使P^TAP為對(duì)角矩陣.

10.問答題 設(shè)實(shí)對(duì)稱矩陣
判斷A是否為正定矩陣.