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大學試題

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問答題判斷向量組α₁=（1，2，3），α₂=（3，6，7）是否線性相關(guān)。

參考答案： 由于α₁，α₂對應分量不成比例，故α₁，α₂線性無關(guān)。

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1.問答題設α₁=（1，1，1，1），α₂=（1，1，-1，-1），α₃=（1，-1，1，-1），α₄=（1，-1，-1，1），β=（1，2，1，1），試將β用α₁，α₂，α₃，α₄線性表示。

參考答案：

2.問答題 求一非奇異矩陣C，使C^TAC為對角矩陣：

參考答案：

3.問答題從以下方程中求出向量x：3（α₁-x）+2（α₂+x）=5（α₃+x），其中α₁=（2，5，1，3），α₂=（10，1，5，10），α₃=（4，1，-1，1）。

參考答案：

4.問答題 設n階實對稱矩陣A的秩為r，試證明：
存在可逆矩陣C，使得C^TAC=diag（d₁，…，d_i，0，…，0）（d₁≠0，i=1，2，…，r）.

參考答案：

5.問答題 求一非奇異矩陣C，使C^TAC為對角矩陣：

參考答案：

6.問答題設α₁=（1，0，1），α₂=（0，1，1），α₃=（1，1，0），求α₁+2α₂及2α₁-α₂+3α₃。

參考答案：

7.問答題分別用配方法和初等變換法二次型為規(guī)范性：f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+5x²₂-4x²₃+2x₁x₂-4x₁₃

參考答案：

8.問答題若二次型f（x₁，…，x_n）=x^TAx對一切x=（x₁，…，x_n）^T恒有f（x₁，…，x_n）=0，證明A為n階零矩陣.

參考答案：

9.問答題設B是n階實矩陣，r（B）TB是半正定矩陣.

參考答案：

10.問答題設A，B皆是正定矩陣，且AB=BA，證明：AB也是正定矩陣.

參考答案：

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