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問(wèn)答題 寫(xiě)出二次型的矩陣。

1.問(wèn)答題求由向量α₁=（1，2，1，0），α₂=（1，1，1，2），α₃=（3，4，3，4），α₄=（1，1，2，1），α₅=（4，5，6，4），所生的向量空間的一組基及其維數(shù)。

2.問(wèn)答題 用配方法化下列二次型成規(guī)范形，并寫(xiě)出所用變換的矩降：
f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+2x₃²+2x₁x₃+2x₂x₃

3.問(wèn)答題用矩陣記號(hào)表示二次型：f=x₁²+x₂²+x₃²+x₄²-2x₁x₂+4x₁x₃-2x₁x₄+6x₂x₃-4x₂x₄

4.問(wèn)答題 用配方法化下列二次型成規(guī)范形，并寫(xiě)出所用變換的矩降：
f（x₁，x₂，x₃）=x₁²+3x₂²+5x₃²+2x₁x₂-4x₁x₃

5.問(wèn)答題用矩陣記號(hào)表示二次型：f=x²+y²-7z²-2xy-4xz-4yz

6.問(wèn)答題證明二次型f=x^TAx在||x||=1時(shí)的最大值為矩陣A的最大特征值。

7.問(wèn)答題試證：由α₁=（1，1，0），α₂=（1，0，1），α₃=（0，1，1），生成的向量空間恰為R³.

8.問(wèn)答題設(shè)a=（a₁，a₂，…，a_n）^T，a₁≠0，A=aa^T。求A的非零特征值及n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

9.問(wèn)答題設(shè)a₁，a₂，a₃為兩兩正交的單位向量組，b₁=-1/3a₁+2/3a₂+2/3a₃，b₂=2/3a₁+2/3a₂-1/3a₃，b₃=-2/3a₁+1/3a₂-2/3a₃，證明b₁，b₂，b₃也是兩兩正交的單位向量組。

10.問(wèn)答題設(shè)a=（a₁，a₂，…，a_n）^T，a₁≠0，A=aa^T。證明λ=0是A的n-1重特征值。