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問答題證明二次型f=x^TAx在||x||=1時的最大值為矩陣A的最大特征值。

1.問答題試證：由α₁=（1，1，0），α₂=（1，0，1），α₃=（0，1，1），生成的向量空間恰為R³.

2.問答題設(shè)a=（a₁，a₂，…，a_n）^T，a₁≠0，A=aa^T。求A的非零特征值及n個線性無關(guān)的特征向量。

3.問答題設(shè)a₁，a₂，a₃為兩兩正交的單位向量組，b₁=-1/3a₁+2/3a₂+2/3a₃，b₂=2/3a₁+2/3a₂-1/3a₃，b₃=-2/3a₁+1/3a₂-2/3a₃，證明b₁，b₂，b₃也是兩兩正交的單位向量組。

4.問答題設(shè)a=（a₁，a₂，…，a_n）^T，a₁≠0，A=aa^T。證明λ=0是A的n-1重特征值。

5.問答題設(shè)3階對稱陣A的特征值為λ₁=6，λ₂=3，λ₃=3，與特征值λ₁=6對應(yīng)的特征向量為P₁=（1，1，1）^T，求A。

6.問答題用矩陣記號表示f=x₁²+x₂²+x₃²-2x₁x₂+6x₂x₃的二次型。

7.問答題用矩陣記號表示f=x²+y²-7z²-2xy-4xz-4yz的二次型。

8.問答題設(shè)3階方陣A的特征值為λ₁=2，λ₂=-2，λ₃=1；對應(yīng)的特征向量依次為P₁=（0，1，1）^T，P₂=（1，1，1）^T，P₃=（1，1，0）^T，求A。

9.問答題用矩陣記號表示二次型：f=x²+4xy+4y²+2xz+z²+4yz

10.問答題 設(shè)A=，求φ（A）=A¹⁰-6A⁹+5A⁸。