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問答題設(shè)σ是線性空間V上的線性變換，如果σ^k-1（ξ）≠0，但σ^k（ξ）=0，證明：ξ，σ（ξ），σ²（ξ），…，σ^k-1（ξ）線性無關(guān)（k>1）.

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1.問答題 在R^n×n中定義線性變換σ（X）=BXC，其中B=C=，求σ（X）在基{E₁₁，E₁₂，E₂₁，E₂₂}下的對應(yīng)矩陣，其中E_ij為i行j列元素為1，其余元素全為0的二階矩陣.

2.問答題已知R³的線性變換對于α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T.σ（γ）在基{α₁，α₂，α₃}下的坐標(biāo)向量為（2，-1，-2）^T，問：原象γ是否惟一？如不惟一，求所以的原象γ.

參考答案：

3.問答題已知R³的線性變換對于α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T.β=（1，1，1）^T，求σ（β）.

參考答案：

4.問答題已知R³的線性變換對于α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T.α在基{α₁，α₂，α₃}下的向量坐標(biāo)為（5，1，1）^T，求σ（α）在基{α₁，α₂，α₃}下的向量坐標(biāo).

參考答案：

5.問答題已知R³的線性變換對于α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T.求σ（β₁），σ（β₂），σ（β₃）；

參考答案：

6.問答題已知R³的線性變換對于α₁=（-1，0，2）^T，α₂=（0，1，1）^T，α₃=（3，-1，-6）^T的象為σ（α₁）=β₁=（-1，0，1）^T，σ（α₂）=β₂=（0，-1，2）^T，σ（α₃）=β₃=（-1，-1，3）^T.求σ在基{α₁，α₂，α₃}下的矩陣表示（即對應(yīng)矩陣）；

參考答案：

7.問答題 設(shè)B₁={α₁，α₂，α₃}和B₂={β₁，β₂，β₃}是R³的兩組基，已知β₁=2α₁+α₂+3α₃，β₂=α₁+α₂+2α₃，β₃=-α₁+α₂+α₃；σ在基B₁下的對應(yīng)矩陣為A=，試求：
σ在基B₂下的對應(yīng)矩陣B.

參考答案：

8.問答題 設(shè)B₁={α₁，α₂，α₃}和B₂={β₁，β₂，β₃}是R³的兩組基，已知β₁=2α₁+α₂+3α₃，β₂=α₁+α₂+2α₃，β₃=-α₁+α₂+α₃；σ在基B₁下的對應(yīng)矩陣為A=，試求：
σ在基B₃={-α₁+2α₂+α₃}下的對應(yīng)矩陣；

參考答案：

9.問答題設(shè)α=（x₁，x₂，x₃）∈R³，證明：σ（α）=（x₁，x₂，-x₃）是線性變換，并分別求它在自然基B₁=ε{₁，ε₂，ε₃}和基B₂={α₁，α₂，α₃}下的對應(yīng)矩陣，其中：α₁=（1，0，0），α₂=（-1，1，0），α₃=（1，-1，1）

參考答案：

10.問答題設(shè){α₁，α₂，…，α_n}是n維線性空間V的一組基，又V中向量α_n-1在這組基下的坐標(biāo)（x₁，x₂，…，x_n）全不為0.證明：α₁，α₂，…，α_n，α_n+1中任意n個向量必構(gòu)成V的一組基，并求α₁在基{α₂，…，α_n，α_n+1}下的坐標(biāo).

參考答案：