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問答題在n維向量空間Rⁿ中選定單位坐標向量e₁，e₂，...，e_n為一組基以后，對n維向量空間Rⁿ中的任一向量α=（x₁，x₂，...，x_n）^T，則α=x₁e₁+e₂x₂+...+e_nx_n，且α用e₁，e₂，...，e_n的這種線性表示是唯一的，我們把唯一表示向量α的這n個實數(shù)x₁，x₂，...，x_n稱為向量α對這組基（e₁，e₂，...，e_n）的坐標。證明向量組a₁=（1，1，1）^T，a₂=（1，1，-1）^T，a₃=（1，-1，-1）^T是R³的一組基。

參考答案：

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1.問答題證明n維向量空間Rⁿ中n個單位坐標向量e₁，e₂，...，e_n是Rⁿ的一組基。

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2.問答題求向量組A：α₁=（1，1，1，1）^T，α₂=（1，1，-1，-1）^T，α₃=（1，-1，1，-1）^T，α₄=（1，-1，-1，1）^T，α₅=（1，2，1，1）^T的一個最大無關(guān)組；并用所求最大無關(guān)組線性表示剩余向量。

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3.問答題已知向量組A：α₁，α₂，α₃線性無關(guān)，當(dāng)k取何值時向量組B：α₂-α₁，kα₃-α₂，α₁-α₃線性無關(guān)？

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4.問答題a，b分別取何值時，向量組A：α₁=（1，0，1，1）^T，α₂=（2，1，2，1）^T，α₃=（4，5，a-2，-1）^T，α₄=（3，b+4，3，1）^T線性相關(guān)？線性無關(guān)？

參考答案：

5.問答題設(shè)有向量組A：α₁，α₂，...，α_n。證明：A的任何部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)；又問若向量組線性無關(guān)，則A的任何分組線性無關(guān)。

參考答案：

6.問答題向量α₁，α₂線性相關(guān)，向量β₁，β₂線性相關(guān)，向量α₁+β₁，α₂+β₂是否一定線性相關(guān)？是，給出證明；否，給出反例。

參考答案：

7.問答題對任意的向量組A：α₁，α₂，α₃，α₄，證明：向量組B：α₁+α₂，α₂+α₃，α₃+α₄，α₄+α₁線性相關(guān)。

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8.問答題向量組A：α₁=（2，0，-1，3）^T，α₂=（3，-2，1，-1）^T與向量組B：β₁=（-5，6，-5，9）^T，β₂=（4，-4，3，-5）^T是否為等價向量組？

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9.問答題 向量能否表示為向量組A：的線性組合？

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10.問答題 試將向量β表示為向量組A：α₁，α₂，...，α_n的線性組合，已知。

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