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問答題

設(shè)線性方程組

設(shè)a₁=a₃=k，a₂=a₄=-k（k≠0），且已知β₁=（-1，1，1）^T，β₂=（1，1，-1）^T是該方程組的兩個(gè)解，試寫出此方程組的通解。

1.問答題 設(shè)矩陣x=（x1，···，xn）T，A=E-xxT，證明：
（1）A²=A的充分必要條件是x^Tx=1；
（2）當(dāng)x^Tx=1時(shí)，A是不可逆矩陣。

2.問答題 判別下列二次型的正定形：
f（x₁，x₂，x₃）=x²₁+2x²₂+3x²₃+2x₁x₂-4x₂x₃。

3.問答題 設(shè)線性方程組

證明：若a₁、a₂、a₃、a₄互不相等，則此方程組無(wú)解。

4.問答題 判別下列二次型的正定形：
f（x₁，x₂，x₃）=-2x²₁-6x²₂-4x²₃+2x₁x₂+2x₁x₃。

5.問答題 設(shè)4階矩陣，且矩陣X滿足關(guān)系式X（E-C^-1B）^TC^T=E，求矩陣X.

6.問答題 判別下列矩陣的正定性：

7.問答題設(shè)A為n階非零方陣，Aⁿ是A的伴隨矩陣，若Aⁿ=A^T，證明〡a〡≠0.

8.問答題 已知二次型f=2x²x₁+3x²₂+2tx₂x₃+3x²₃（t＜0）通過正交變換x=Py可化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y²₁+2y²₂+5y²₃，求參數(shù)t及所用的正交變換矩陣P。

9.單項(xiàng)選擇題 已知β₁，β₂為方程組AX=b的兩個(gè)不同的解，α₁，α₂為Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，k₁，k₂為兩任意常數(shù)，則Ax=b的通解為（）。

A.A
B.B
C.C
D.D

10.問答題 某四元齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為3，已知α₁，α₂，α₃是它的三個(gè)解向量，其中，試求改非齊次線性方程組的通解。