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問答題設(shè)V為n階實(shí)對稱矩陣對矩陣的加法與數(shù)乘運(yùn)算構(gòu)成的線性空間，P為n階實(shí)矩陣，對任意A∈V，作變換σ（A）=P^TAP（T稱為合同變換），證明：σ是V中的線性變換。

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1.問答題已知線性空間R⁴的兩組基：α₁=（1，-1，0，0）^T，α₂=（0，1，-1，0）^T，α₃=（0，0，1，-1）^T，α₄=（1，0，0，1）^T； β₁=（2，1，-1，1）^T，β₂=（0，3，1，0）^T，β₃=（5，3，2，1）^T，β₄=（6，6，1，3）^T。向量ξ=（1，0，1，0）在基β₁，β₂，β₃，β₄下的坐標(biāo)。

參考答案：

2.問答題 已知線性空間R⁴的兩組基：α₁=（1，-1，0，0）^T，α₂=（0，1，-1，0）^T，α₃=（0，0，1，-1）^T，α₄=（1，0，0，1）^T； β₁=（2，1，-1，1）^T，β₂=（0，3，1，0）^T，β₃=（5，3，2，1）^T，β₄=（6，6，1，3）^T。
由基α₁，α₂，α₃，α₄到基β₁，β₂，β₃，β₄的過度矩陣。

參考答案：

3.問答題若方陣A滿足A²-A-2E=0，證明A及A+2E都可逆，并求A^-1及（A+2E）^-1.

參考答案：

4.問答題設(shè)n階矩陣A滿足A^m=0，m是正整數(shù)，試證E-A可逆，且（E-A）^-1=E+A+A²+···+A^m-1.

參考答案：

5.問答題 若A，B均為n階方陣，下列命題是否成立？若成立，給出證明；若不成立，舉例說明。
若A，B都可逆，則A+B也可逆。

參考答案：

6.問答題 利用逆矩陣解下列線性方程組。

參考答案：

7.問答題 利用逆矩陣解下列線性方程組。

參考答案：

8.問答題檢驗(yàn)以下集合對于所指的加法及數(shù)乘法運(yùn)算是否構(gòu)成線性空間。設(shè)V是與向量（1，0，0）^T不平行的全體三維實(shí)向量構(gòu)成的集合，對于向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算。

參考答案：

9.問答題 檢驗(yàn)以下集合對于所指的加法及數(shù)乘法運(yùn)算是否構(gòu)成線性空間。
設(shè)V=|（α，β）|α∈V₁，β∈V₂，其中V₁，V₂是兩個線性空間，對于任意（α₁，β₁），（α₂，β₂）及k∈R，定義加法和數(shù)乘法運(yùn)算如下：（α₁，β₁）⊕（α₂，β₂）=（α₁+α₂，β₁+β₂），k·（α₁，β₁）=（kα₁，kβ₁）。

參考答案：

10.問答題若A是正交矩陣，證明存在正定矩陣B，使A=B²。

參考答案：