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問(wèn)答題 設(shè)A、B均為n階可逆矩陣，則下列各式中有哪些一定成立？

一定成立的有（1）（3）（4）（5）（7）

1.問(wèn)答題 設(shè)A、B、C均為n階矩陣，且滿足ABC=E，則下列各式中哪些必定成立，理由是什么？
（1）BCA=E
（2）BAC=E
（3）ACB=E
（4）CBA=E
（5）CAB=E

2.問(wèn)答題證明：如果A是奇數(shù)階的反對(duì)稱矩陣，則detA=0。

3.問(wèn)答題寫(xiě)出二次型f（x₁，x，x₃）=x²₁+x²₂+x²₃+2x₁x₂+4x₂₃的矩陣A，并將它化為標(biāo)準(zhǔn)型；判斷它是正定二次型還是負(fù)定二次型？二次型f的秩等于多少？

4.問(wèn)答題證明：如果A是實(shí)數(shù)域上的一個(gè)對(duì)稱矩陣，且滿足A²=0，則A=0。

5.問(wèn)答題證明：對(duì)任意m×n矩陣A，AA^T和A^TA均為對(duì)稱矩陣。

6.問(wèn)答題 n階矩陣A=(a_ij)_n×n的主對(duì)角元之和稱為矩陣A的跡，記作tr(A),即

7.問(wèn)答題設(shè)A，B是n階對(duì)稱方陣。證明：AB是對(duì)稱矩陣的充分必要條件是AB=BA。

8.問(wèn)答題 當(dāng)λ為何值時(shí)，線性方程組有惟一解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？有解時(shí)求出解。

9.問(wèn)答題證明：矩陣A與所有n階對(duì)角矩陣可交換的充分必要條件是A為n階對(duì)角矩陣。

證明：先證明必要性。若矩陣A為n階對(duì)角矩陣，即
令n階對(duì)角矩陣為：

10.問(wèn)答題證明：與任意的n階矩陣可交換的矩陣必是n階數(shù)量矩陣。