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問答題試將二次型f=x₁x₂+x₁x₃+x₁x₄+x₂x₃+x₂x₄+x₃x₄寫成矩陣形式，并求二次型的秩。

參考答案：

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1.問答題設(shè)二階矩陣A的特征值為λ₁=2，λ₂=4，對應(yīng)的特征向量分別為α₁=（1，1）^T，α₂=（-1，1）^T，試求矩陣A。

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2.問答題設(shè)方陣A滿足A²-3A+2E=0，證明A的特征值只能取1或2。

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3.問答題設(shè)λ=2是可逆方陣A的一個特征值，試寫出方針（A²/2）^-1的一個特征值。

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4.問答題 變量x₁，x₂，x₃與變量y有如下的線性關(guān)系：，已知行列式D=≠0，試將變量x₁，x₂，x₃用變量y₁，y₂，y₃線性表示。

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5.問答題 寫出一個以（c₁，c₂為任意常數(shù)）為通解的其次線性方程。

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6.問答題設(shè)x₁，x₂，...，x_t為非齊次線性方程組Ax=b的t個解，常數(shù)k₁，k₂，...，k_t滿足證明k₁+k₂+...+k_t，證明x=k₁x₁+k₂x₂+...+k_tx_t也是方程組Ax=b的解。

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7.問答題在n維向量空間Rⁿ中選定單位坐標向量e₁，e₂，...，e_n為一組基以后，對n維向量空間Rⁿ中的任一向量α=（x₁，x₂，...，x_n）^T，則α=x₁e₁+e₂x₂+...+e_nx_n，且α用e₁，e₂，...，e_n的這種線性表示是唯一的，我們把唯一表示向量α的這n個實數(shù)x₁，x₂，...，x_n稱為向量α對這組基（e₁，e₂，...，e_n）的坐標。證明向量組a₁=（1，1，1）^T，a₂=（1，1，-1）^T，a₃=（1，-1，-1）^T是R³的一組基。

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8.問答題證明n維向量空間Rⁿ中n個單位坐標向量e₁，e₂，...，e_n是Rⁿ的一組基。

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9.問答題求向量組A：α₁=（1，1，1，1）^T，α₂=（1，1，-1，-1）^T，α₃=（1，-1，1，-1）^T，α₄=（1，-1，-1，1）^T，α₅=（1，2，1，1）^T的一個最大無關(guān)組；并用所求最大無關(guān)組線性表示剩余向量。

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10.問答題已知向量組A：α₁，α₂，α₃線性無關(guān)，當k取何值時向量組B：α₂-α₁，kα₃-α₂，α₁-α₃線性無關(guān)？

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