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問(wèn)答題 設(shè)A為n階正定矩陣，x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ，b是一固定的實(shí)n維列向量，證明：p（x）=x^TAx-x^Tb，在x₀=A^-1b處取得最小值，且p_min=-b^TA^-1b.

1.問(wèn)答題判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。α₁^T=（1，2，1，3），α₂^T=（4，-1，-5，-6），α₃^T=（1，-3，-4，-7），α₄^T=（2，1，-1，0）。

2.單項(xiàng)選擇題對(duì)于二次型f（x₁，x₂，...，x_n）=x^TAx，其中A為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，下述個(gè)結(jié)論中正確的是（）。

A.化f為標(biāo)準(zhǔn)型的可逆線性變換是唯一的
B.化f為規(guī)范型的可逆線性變換是唯一的
C.f的標(biāo)準(zhǔn)形是唯一的
D.f的規(guī)范形是唯一的

3.問(wèn)答題 判斷下列向量是否線性相關(guān)，并求出一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組。
α₁^T=（1，1，0），α₂^T=（0，2，0），α₃^T=（0，0，3）；

4.單項(xiàng)選擇題 如果實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A與矩陣B=合同，則二次型x^TAx的規(guī)范形為（）。

A.y²₁+y²₂+y²₃
B.y²₁+y²₂-y²₃
C.y²₁-y²₂-y²₃
D.y²₁+y²₂

5.問(wèn)答題已知三個(gè)向量組（Ⅰ）α₁，α₂，α₃；（Ⅱ）α₁，α₂，α₃，α₄；（Ⅲ）α₁，α₂，α₃，α₅。如果各向量組的秩分別為3，3，4，試證向量組α₁，α₂，α₃，α₅-α₄的秩為4。

6.單項(xiàng)選擇題 A=，則與A合同的矩陣是（）。

A.
B.
C.
D.

7.單項(xiàng)選擇題設(shè)A，B均為n階矩陣，且A與B合同，則（）。

A.A與B相似
B.∣A∣=∣B∣
C.A與B有相同的特征值
D.r（A）=r（B）

8.單項(xiàng)選擇題二次型f（x₁，x₂，x₃）=5x²₁+5x²₂+cx²₃-2x₁x₂+6x₂x₃的秩為2，則c=（）。

A.4
B.3
C.2
D.1

9.問(wèn)答題設(shè)α₁，α₂，…，α_m線性無(wú)關(guān)，向量β₁可由該向量組線性表示，而向量β₂不能由該向量組線性表示，試證向量組α₁，α₂，…，α_m，lβ₁+β₂必線性無(wú)關(guān)（其中l(wèi)為常數(shù)）。

10.問(wèn)答題設(shè)A是m×n實(shí)矩陣，I是n階單位階，已知B-λI+A^TA，試證：當(dāng)λ>0時(shí)，矩陣B為正定矩陣.