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問答題 設(shè)A與B相似，C與D相似，求證：相似。

1.填空題已知E為單位矩陣，若2A+A^-1=3E，則當(dāng)E-A可逆時(shí)，A³=（）。

2.問答題設(shè)A，B均為n階方陣，試證：若A可逆，則AB與BA相似。

3.問答題已知ξ₁，ξ₂是線性方程組AX=O的一個(gè)基礎(chǔ)解系，求A的一個(gè)特征值和特征向量。

4.填空題設(shè)A是m×n矩陣，那么A的秩不超過r的充分必要條件是（）。

5.問答題 設(shè)A，B均為n階方陣，則下述命題正確的是哪個(gè)？且說明理由。
（A）若A與B等價(jià)，則A與B必相似。
（B）若A與B相似，則A與B必等價(jià)。

6.問答題設(shè)矩陣A，B都是正定矩陣，證明矩陣A+B也是正定矩陣。

7.問答題 設(shè)：（Ⅰ）a₁，a₂，...a_n與（Ⅱ）：β₁，β₂，...β_n是向量空間Pⁿ的兩組基。
設(shè)基（Ⅰ）到基（Ⅱ）的過渡矩陣為M，若秩（E-M）=r，則dim（W）=n-r。

8.問答題 用正交變換化二次型f（x₁，x₂，x₃）=為標(biāo)準(zhǔn)型，并寫出正交變換矩陣。

9.問答題 設(shè)：（Ⅰ）a₁，a₂，...a_n與（Ⅱ）：β₁，β₂，...β_n是向量空間Pⁿ的兩組基。
證明在基（Ⅰ），基（Ⅱ）下坐標(biāo)完全相同向量的全體組成的集合W是Pⁿ的一個(gè)子空間。

10.問答題設(shè)A是m行n列矩陣，如果線性方程組AX=β對(duì)于任意m維向量β都有解，證明A的秩等于m。